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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.1.
Realizar el análisis completo de las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$ teniendo en cuenta:
i) $f(x)=e^{x^{2}+x}$
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
i) $f(x)=e^{x^{2}+x}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función $f(x)=e^{x^{2}+x}$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Estudio de funciones}$:
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R} $
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$\textbf{2)}$ Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} e^{x^{2}+x} = +\infty $
$ \lim_{x \to -\infty} e^{x^{2}+x} = +\infty $
- Asíntotas oblicuas: Probá de calcular $m$ y vas a ver que te va a dar infinito, esta función no tiene asíntota oblicua (la mina no estaba calculando ni una asíntota oblicua jaja...) Acá fijate que cuando hagas $\frac{f(x)}{x}$ te va a quedar una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicás L'Hopital y sale fácil ;)
$\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \):
$ f'(x) = e^{x^2 + x} \cdot (2x + 1) $
$\textbf{4)}$Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:
$ e^{x^2 + x} \cdot (2x + 1) = 0 $
Como \( e^{x^2 + x} \) nunca es igual a cero, el término que puede estar haciendo que esta multiplicación sea cero es \( (2x + 1) \):
$ 2x + 1 = 0 $
$ x = -\frac{1}{2} $
Tenemos un punto crítico en \( x = -\frac{1}{2} \).
$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x < -\frac{1}{2} \)
b) \( x > -\frac{1}{2} \)
$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos:
a) Para \( x < -\frac{1}{2} \), podemos elegir \( x = -1 \)
$ f'(-1) < 0 $
La función $f$ es decreciente
b) Para \( x > -\frac{1}{2} \), podemos elegir \( x = 0 \)
$ f'(0) > 0 $
La función $f$ es creciente
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.