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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.1. Realizar el análisis completo de las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x) teniendo en cuenta:
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
i) f(x)=ex2+xf(x)=e^{x^{2}+x}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función f(x)=ex2+xf(x)=e^{x^{2}+x} siguiendo la estructura que vimos en las clases de Estudio de funciones\textbf{Estudio de funciones}: 1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de ff es todo R\mathbb{R}

2)\textbf{2)} Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, esta función no tiene asíntotas verticales

- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty
lim⁡x→+∞ex2+x=+∞ \lim_{x \to +\infty} e^{x^{2}+x} = +\infty lim⁡x→−∞ex2+x=+∞ \lim_{x \to -\infty} e^{x^{2}+x} = +\infty

- Asíntotas oblicuas: Probá de calcular mm y vas a ver que te va a dar infinito, esta función no tiene asíntota oblicua (la mina no estaba calculando ni una asíntota oblicua jaja...) Acá fijate que cuando hagas f(x)x\frac{f(x)}{x} te va a quedar una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicás L'Hopital y sale fácil ;)

3)\textbf{3)} Calculamos f′(x) f'(x) :

f′(x)=ex2+x⋅(2x+1) f'(x) = e^{x^2 + x} \cdot (2x + 1)

4)\textbf{4)}Igualamos f′(x) f'(x) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:

ex2+x⋅(2x+1)=0 e^{x^2 + x} \cdot (2x + 1) = 0 Como ex2+x e^{x^2 + x} nunca es igual a cero, el término que puede estar haciendo que esta multiplicación sea cero es (2x+1) (2x + 1) : 2x+1=0 2x + 1 = 0 x=−12 x = -\frac{1}{2}

Tenemos un punto crítico en x=−12 x = -\frac{1}{2} .

5)\textbf{5)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<−12 x < -\frac{1}{2} b) x>−12 x > -\frac{1}{2}

6)\textbf{6)} Evaluamos el signo de f′(x) f'(x) en cada uno de los intervalos:

a) Para x<−12 x < -\frac{1}{2} , podemos elegir x=−1 x = -1 f′(−1)<0 f'(-1) < 0 La función ff es decreciente b) Para x>−12 x > -\frac{1}{2} , podemos elegir x=0 x = 0 f′(0)>0 f'(0) > 0 La función ff es creciente

Con toda la información que tenemos ya podemos graficar f(x)f(x). Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.

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